Цель работы:

• Освоить возможности Microsoft Excel для расчета и представления тренда временного ряда.
• Научиться проводить расчеты статистической оценки результатов расчета тренда.

1) Краткие сведения.

Тренд является частью годовой гармоники и может быть как линейного,

,

или  .

По величине коэффициента корреляции и корреляционного отношения легко определить коэффициент детерминации, показывающий вклад тренда в описание дисперсии функции отклика

,

Отсюда видно, что величина линейного тренда определяется коэффициентом регрессии. Аналогичным образом для нелинейного тренда вычисляются его первое и последнее значения по формуле и затем разность делится на длину интервала. В результате получаем величину тренда в единицу времени. Следует иметь в виду, что рассчитанный таким образом для нелинейного тренда коэффициент детерминации выше по сравнению с линейным трендом. При этом чем больше «крутизна» тренда, тем больше различия между линейным и нелинейным трендами.

Итак, коэффициент детерминации и величина тренда исчерпывающим образом характеризуют поведение тренда. Однако необходимо помнить, что рассмотренная выше процедура оценивания трендов является параметрической, эффективность которой существенно зависит от того, насколько точно исходный ряд близок к нормальному распределению и от его длины. Действительно, для длинных рядов, даже если исходный ряд не является нормальным, оценка тренда может быть осуществлена рассмотренным выше образом.

Для коротких рядов, особенно когда распределение исходных данных неизвестно, эффективность оценивания тренда резко снижается. В этом случае для оценки коэффициента детерминации могут быть использованы непараметрические коэффициенты ранговой корреляции Спирмена или Кендалла с последующей приближенной оценкой на значимость по критерию Стьюдента или непараметрические критерии серий по числу экстремумов, по числу повышений и понижений значений случайной величины в исходном ряду. Однако непараметрические критерии позволяют лишь предположить присутствие тренда во временном ряду, но не дают его количественных оценок.

Под трендовой составляющей понимается некоторое медленное изменение процесса с периодом, превышающим длину исходной реализации. Отсюда следует, что само существование тренда полностью определяется длиной ряда. При изменении его длины тренд может появляться, исчезать, менять свою интенсивность и форму. Но при этом он не может образовывать циклы.

Отметим, что до настоящего времени существует некоторая путаница в понятии тренда. Следует отличать трендовую компоненту от тенденции временного ряда, под которой обычно понимают главные закономерности в развитии случайного процесса. Таким образом, в отличие от тренда, тенденция ряда может образовывать циклы. Довольно часто именно долгопериодная изменчивость временного ряда и принимается в качестве его основной тенденции. Кроме того, отсюда следует, что значимый тренд является частным случаем тенденции, но не наоборот.

Очевидно, в некоторых случаях помимо основного (главного) тренда целесообразно выделять и локальные тренды. Основным является тренд для всего временного ряда. Если же ряд разбить на отдельные характерные отрезки, отличающиеся друг от друга направленностью временных колебаний, то для каждого из них можно построить свои локальные тренды. Пример подобных трендов будет приведен ниже.

Численные значения коэффициентов в формулах определяются методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

Через имеющееся «облако» точек всегда можно попытаться провести линию установленного вида, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех линий данного вида, т.е. «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. Для этого определим вначале понятие близости линии к некоторому множеству точек на плоскости. Меры такой близости могут быть различными. Однако любая разумная мера должна быть, очевидно, связана с расстоянием от точек наблюдения до рассматриваемой линии (задаваемой уравнением y=F(x)).

Предположим, что приближающая функция F(x) в точках х₁, x₂, ..., x_n имеет значения y₁, y₂, ..., y_n. Часто в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной y_i и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений y_i. Здесь считается, что y_i и x_i – известные данные наблюдений, а F –  уравнение линии регрессии с неизвестными параметрами (формулы для их вычисления будут приведены ниже). Метод оценивания параметров приближающей функции, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений искомой функции, называется методом наименьших квадратов (МНК) или Least Squares Method (LS).

Итак, задачу приближения функции f теперь можно сформулировать следующим образом: найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов Ф была наименьшей.